تعتبر “معضلة التلميذات” لـ”توماس كيركمان”؛ واحدة من أشهر المسائل الرياضية في مجال علم التوافقيات (Combinatorics). المسألة تمثل تحديًا رياضيًا ممتعًا وأنيقًا يتطلب مهارات التفكير المنطقي والتنظيمي لحلها.
وهي تصنف ضمن مسائل التصميم التوافقي (Combinatorial Design Problems) التي تُستخدم بشكل واسع في الرياضيات التطبيقية، مثل جدولة المهام وتصميم التجارب العلمية.
- وصف المعضلة
في مدرسة داخلية تضم 15 تلميذة، يُطلب تنظيم نزهات يومية على مدار أسبوع كامل. النزهة تتم على شكل مجموعات، وكل مجموعة تتكون من ثلاث تلميذات فقط. التحدي يكمن في الآتي:
- يجب أن يتم ترتيب المجموعات بحيث لا تتنزه أي تلميذة مع أخرى أكثر من مرة واحدة ضمن نفس المجموعة طوال الأسبوع.
- الهدف هو توزيع التلميذات على المجموعات بطريقة متساوية ومتوافقة مع هذا الشرط.
أهمية المعضلة
هذه المسألة ليست مجرد تسلية رياضية؛ بل إنها تقدم نموذجًا حقيقيًا يُستخدم في حل المشكلات المتعلقة بالتنظيم والجدولة. تُعتبر المعضلة مثالًا على ما يُعرف بـ”تصميم الكتل المتوازنة” (Balanced Incomplete Block Designs) في علم التوافقيات. يتم استخدام هذه التقنيات في مجالات مثل:
- جدولة الدوريات الرياضية.
- توزيع الموارد بطريقة فعالة.
- تصميم التجارب في الإحصاء.
الحل والتاريخ الرياضي للمعضلة
تم حل المعضلة لأول مرة في عام 1850 على يد عالم الرياضيات البريطاني توماس بينينغتون كيركمان (Thomas Penyngton Kirkman)، الذي طرحها وأثبت إمكانية حلها. وقد ساهم في تطوير الحل علماء آخرون مثل جاكوب شتاينر (Jakob Steiner) وديجين ك. راي شودري (Dijen K. Ray-Chaudhuri) وآر. إم. ويلسون (R. M. Wilson).
الفكرة الأساسية للحل
- يتم تمثيل التلميذات على شكل أحرف أبجدية من A إلى O (حيث يوجد 15 تلميذة).
- يتم تقسيم الأسبوع إلى 7 أيام (الأحد إلى السبت).
- في كل يوم، يتم تشكيل خمس مجموعات تحتوي كل منها على ثلاث تلميذات، مع الحرص على أن لا تتكرر نفس التلميذات معًا في مجموعة طوال الأسبوع.
آلية التوزيع
لشرح الحل، يمكننا استخدام توزيع المجموعات على مدار الأسبوع كالتالي:
- الأحد:
- المجموعة 1: A, B, C
- المجموعة 2: D, E, F
- المجموعة 3: G, H, I
- المجموعة 4: J, K, L
- المجموعة 5: M, N, O
- الاثنين:
- المجموعة 1: A, D, H
- المجموعة 2: B, E, K
- المجموعة 3: C, F, N
- المجموعة 4: G, J, M
- المجموعة 5: I, L, O
- الثلاثاء:
- المجموعة 1: A, E, M
- المجموعة 2: B, F, I
- المجموعة 3: C, G, K
- المجموعة 4: D, J, O
- المجموعة 5: H, L, N
- الأربعاء:
- المجموعة 1: A, F, I
- المجموعة 2: B, G, L
- المجموعة 3: C, H, M
- المجموعة 4: D, K, N
- المجموعة 5: E, J, O
- الخميس:
- المجموعة 1: A, G, L
- المجموعة 2: B, H, N
- المجموعة 3: C, I, O
- المجموعة 4: D, E, M
- المجموعة 5: F, J, K
- الجمعة:
- المجموعة 1: A, H, N
- المجموعة 2: B, I, O
- المجموعة 3: C, J, K
- المجموعة 4: D, F, L
- المجموعة 5: E, G, M
- السبت:
- المجموعة 1: A, I, O
- المجموعة 2: B, J, M
- المجموعة 3: C, K, N
- المجموعة 4: D, G, H
- المجموعة 5: E, F, L
شرح مبسط للحل
لفهم طريقة الحل، يمكننا استخدام النقاط التالية:
- التلميذات كمجموعات متقاطعة:
نبدأ بتوزيع التلميذات على مجموعات اليوم الأول بشكل عشوائي. بعدها نعمل على إعادة التوزيع في الأيام التالية بحيث لا تتكرر التلميذات معًا ضمن نفس المجموعة. - جدولة ذكية:
يعتمد الحل على إيجاد نمط توافقي يسمح بالتكرار المنظم للتلميذات بحيث يلتقين بزميلاتهن في مجموعات مختلفة على مدار الأسبوع. - التوافق بين الرياضيات والحياة العملية:
هذه الطريقة يمكن استخدامها عمليًا لتوزيع الموارد أو تخطيط المهام بطريقة فعالة.
تأثير المعضلة على علم التوافقيات
معضلة التلميذات لكيركمان تمثل حجر الأساس في تطوير مفاهيم التصميم التوافقي. يمكننا القول إنها أثرت بشكل كبير على تطوير نظريات مثل:
- التصميم الإحصائي للتجارب.
- التشفير الرياضي.
- تصميم الشبكات والأنظمة.
